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非正弦周期信号的傅里叶级数分解

2020-8-23 19:38| 发布者: admin| 查看: 768| 评论: 0|原作者: 佚名|来自: 网络

摘要: 当电路的激励源为直流或正弦交流电源时,可用所述方法对电路进行分析计算。但是在实际电气系统中,却经常会遇到非正弦的激励源问题,例如电力系统的交流发电机所产生的电动势,其波形并非理想的正弦曲线,而是接近正 ...
当电路的激励源为直流或正弦交流电源时,可用所述方法对电路进行分析计算。但是在实际电气系统中,却经常会遇到非正弦的激励源问题,例如电力系统的交流发电机所产生的电动势,其波形并非理想的正弦曲线,而是接近正弦波的周期性波形。即使是正弦激励源电路,若电路中存在非线性器件时,也会产生非正弦的响应。在电子通信工程中,遇到的电信号大都为非正弦量,如常见的方波、三角波、脉冲波等,有些电信号甚至是非周期性的。

对于线性电路,周期性非正弦信号可以利用傅里叶级数展开把它分解为一系列不同频率的正弦分量,然后用正弦交流电路相量分析方法,分别对不同频率的正弦量单独作用下的电路进行计算,再由线性电路的叠加定理,把各分量叠加,得到非正弦周期信号激励下的响应。这种将非正弦激励分解为一系列不同频率正弦量的分析方法称为谐波分析法。

设周期函数的周期为T,则有:

满足狄里赫利条件,那么它就可以分解成为傅里叶级数。一般电工技术中所涉及的周期函数通常都能满足狄里赫利条件,能展开为傅里叶级数,在后面讨论中均忽略这一问题。

对于上述周期函数,可表示成傅里叶级数:

已知时,傅里叶级数表达式中各谐波分量的系数可由下面公式求得:

表达式中的各项统一表达为:

表示成一系列以信号中各谐波分量的所有信息。的频域表达式,与信号的时域表达式是完全等价的。所包含的各谐波幅值与相位可用幅频特性和相频特性图来直观表示。

2   周期脉冲信号如图4a所示,求该信号的频谱函数,并作振幅频谱和相位频谱图。

解:由波形图可知:

频谱函数为:

,则可得:

由上式可作出振幅频谱与相位频谱图,如图4bc所示。

 

4

从振幅频谱图可看出,周期信号的频谱图是一系列离散的谱线组成的,所有谱线都出现在基波频率的整数倍的频率上。周期信号的这种频谱称为离散频谱。

从频谱函数表达式中可看出,当脉冲重复周期增大时,基波频率将变小,谱线之间的间隔缩小,同时振幅也随之减小。当T无限增大时,谱线将趋于无限密集,即从离散趋于连续,而幅值却趋于无穷小,这时周期信号也已转化为非周期信号。


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