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RC电路的暂态分析

2020-8-23 19:30| 发布者: admin| 查看: 957| 评论: 0|原作者: 佚名|来自: 网络

摘要: 图1所示是一RC串联电路。可分三种响应对其进行暂态分析。 1、零状态响应 图1 RC电路 所谓RC电路的零状态,是指换路前电容元件未储有能量,即 。在此条件下,由电源激励所产生的电路的响应,称为零状态响应。 ...

图1所示是一RC串联电路。可分三种响应对其进行暂态分析。

1、零状态响应

图1 RC电路

所谓RC电路的零状态,是指换路前电容元件未储有能量,即 。在此条件下,由电源激励所产生的电路的响应,称为零状态响应。

在图1中,如果在t=0时将开关S合到位置1上,电路即与一恒定电压为U的电压源接通,对电容元件开始充电,其上电压为

根据基尔霍夫电压定律,列出 时电路的微分方程

(1)

上式的通解有两个部分:一个是特解 ,一个是补函数

特解取电路的稳态值,或称稳态分量,即

补函数是齐次微分方程

的通解,其形式为

代入上式,得特征方程

其根为

式中, ,它具有时间的量纲,所以称为RC电路的时间常数。

因此,式(1.37)的通解为

图2零状态响应

设换路前电容元件未储有能量,即初始值 ,则 ,于是得

(2)

其随时间的变化曲线如图2所示。

即从t=0经过一个τ的时间 增长到稳定值U的63.2%。

从理论上讲,电路只有经过t=∞的时间才能达到稳定。但是,由于指数曲线开始变化较快,而后逐渐缓慢。所以,实际上经t=5τ的时间,就足可认为达到稳定状态了。τ愈小,曲线的增长就愈快。

由式(2)也可求出 ,即

(3)

(4)

2、零输入响应

所谓RC电路的零输入,是指无电源激励,输入信号为零。在此条件下,由电容元件的初始状态 所产生的电路的响应,称为零输入响应。

如果在图3中,当电容元件充电到 时,即将开关S从位置1合到2,脱离电源(输入为零),电容元件开始放电,稳态值 [初始值 ],则经求解可得

(5)

其随时间的变化曲线如图4所示。

图3 RC电路

图4 零输入响应

t=τ

即从t=0经过一个τ的时间uC衰减到初始值 的36.8%。τ愈小,衰减愈快。

由式 (5)也可求出

(6)

(7)

上两式中的负号表示放电电流的实际方向与图1中所选定的参考方向相反。

3、全响应

如果在图5中,电容元件初始电压为 ,t=0时,将开关S从位置合到2,电路即进入全响应。

图5RC电路

所谓RC电路的全响应,是指电源激励和电容元件的初始状态 均不为零时电路

的响应,也就是零状态响应与零输入响应两者的叠加。

(8)

由式 (8)可写出分析一阶线性电路暂态过程中任意变量的一般公式,即

(9)

只要求得初始值 、稳态值 和电路时间常数τ这三个“要素”,就能直接写出电路的响应(电压或电流)。这就是一阶线性电路暂态分析的三要素法。


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