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动态电路的方程及其初始条件

2020-8-23 19:27| 发布者: admin| 查看: 726| 评论: 0|原作者: 佚名|来自: 网络

摘要: 1.动态电路  含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。由于动态元件是储能元件,其 VCR 是对时间变量 t 的微分和积分关系,因此动态电路的特点是:当电路状态发生改变时(换路)需要经历一个变化过程才能达到新的 ...
1.动态电路
  
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。由于动态元件是储能元件,其 VCR 是对时间变量 t 的微分和积分关系,因此动态电路的特点是:当电路状态发生改变时(换路)需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
  下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路时的表现。
  1)电阻电路
图 1 (a) (b)
  图1(a)所示的电阻电路在 t =0 时合上开关,电路中的参数发生了变化。电流 i 随时间的变化情况如图1(b)所示,显然电流从t<0时的稳定状态直接进入t>0 后的稳定状态。说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。
  2)电容电路
 
图 2 (a) (b)  
  图2(a)所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前,电路处于稳定状态,电流 i 和电容电压满足:i=0,uC=0。
  t=0 时合上开关,电容充电, 接通电源后很长时间,电容充电完毕,电路达到新的稳定状态,电流 i 和电容电压满足:i=0,uC=US
图 2 (c)
  电流 i 和电容电压uC 随时间的变化情况如图2(c)所示,显然从t<0 时的稳定状态不是直接进入t>0后新的稳定状态。说明含电容的电路在换路时需要一个过渡期。
  3)电感电路
 
图 3 (a) (b)  
  图3(a)所示的电感和电阻组成的电路在开关未动作前,电路处于稳定状态,电流i 和电感电压满足:i=0,uL=0。
  t
=0 时合上开关。接通电源很长时间后,电路达到新的稳定状态,电流 i 和电感电压满足:i=0,uL=US/R 。
图 3 (c)  
  电流 i 和电感电压uL 随时间的变化情况如图3(c)所示,显然从t<0时的稳定状态不是直接进入t>0后新的稳定状态。说明含电感的电路在换路时需要一个过渡期。
从以上分析需要明确的是:
 1)换路是指电路结构、状态发生变化,即支路接入或断开或电路参数变化;
 2)含有动态元件的电路换路时存在过渡过程,过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C ,在换路时能量发生变化,而能量的储存和释放需要一定的时间来完成,即:
    
 3)代替电路方向就是研究换路后动态电路中电压、电流随时间的变化过程。 2. 动态电路的方程
   分析动态电路,首先要建立描述电路的方程。动态电路方程的建立包括两部分内容:一是应用基尔霍夫定律,二是应用电感和电容的微分或积分的基本特性关系式。下面通过例题给出详细的说明。
图 4 图5
  设 RC 电路如图4 所示,根据 KVL 列出回路方程为:
  由于电容的 VCR 为:
  从以上两式中消去电流得以电容电压为变量的电路方程:
  若以电流为变量,则有:
  对以上方程求导得:
  设 RL 电路如图5 所示的,根据 KVL 列出回路方程为:
  由于电感的 VCR 为:
  以上两式中消去电感电压得以电流为变量的电路方程:
  若以电感电压为变量,则有:
  对以上方程求导得:
  对图6 所示的 RLC 电路,根据 KVL 和电容、电感的 VCR 可得方程为:
   
      
图6
  整理以上各式得以电容电压为变量的二阶微分方程:
考察上述方程可得以下结论:
 (1)描述动态电路的电路方程为微分方程;
 (2)动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数,一般而言,若电路中含有 n 个独立的动态元件,那么描述该电路的微分方程是 n 阶的,称为 n 阶电路;
 (3)描述动态电路的微分方程的一般形式为:
  描述一阶电路的方程是一阶线性微分方程
  描述二阶电路的方程是二阶线性微分方程
  高阶电路的方程是高阶微分方程:
  
  方程中的系数与动态电路的结构和元件参数有关。 3. 电路初始条件的确定
  求解微分方程时,解答中的常数需要根据初始条件来确定。由于电路中常以电容电压或电感电流作为变量,因此,相应的微分方程的初始条件为电容电压或电感电流的初始值。
  若把电路发生换路的时刻记为 t =0 时刻,换路前一瞬间记为0,换路后一瞬间记为0,则初始条件为t=0u i 及其各阶导数的值。
 (1)电容电压和电感电流的初始条件
     
  由于电容电压和电感电流是时间的连续函数(参见第一章),所以上两式中的积分项为零,从而有:
     对应于 
  以上式子称为换路定律,它表明:
  1) 换路瞬间,若电容电流保持为有限值,则电容电压(电荷)在换路前后保持不变,这是电荷守恒定律的体现。
  2)换路瞬间,若电感电压保持为有限值,则电感电流(磁链)在换路前后保持不变。这是磁链守恒的体现。
  需要明确的是:
  1)电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
  2)换路定律反映了能量不能跃变的事实。
 (2)电路初始值的确定
  根据换路定律可以由电路的uC(0) 和iL(0) 确定uC(0+)和iL(0+) 时刻的值 , 电路中其他电流和电压在 t=0+ 时刻的值可以通过 0+ 等效电路求得。求初始值的具体步骤是:
  1)由换路前 t=0时刻的电路(一般为稳定状态)求uC (0) 或 iL (0) ;
  2)由换路定律得uC (0+) 和iL (0+) ;
  3)画 t=0+ 时刻的等效电路: 电容用电压源替代,电感用电流源替代(取 0+ 时刻值,方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同);
  4)由 0+ 电路求所需各变量的 0+ 值。

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